** Tapis de Sierpinski

Sur ce fichier GeoGebra, on peut faire varier $n$ .

On considère un carré de côté de longueur une unité . 
On divise alors ce carré en neuf carrés identiques et on colorie le carré central. 
Les huit carrés restants sont à leur tour divisés et coloriés selon le même procédé.
Pour tout entier naturel $n$ , on note $A_n$  l'aire totale coloriée après la $n$ - ième étape.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $A_{n+1}={\displaystyle \frac{8}{9}{A}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}}$ .

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $A_n=1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n$ .

3. En déduire la limite de la suite $(A_n)$ .

Remarque

Ce procédé de construction permet de générer un objet fractale appelé Tapis de Sierpinski du nom du mathématicien polonais.